“Περιγράψτε τον πιο πρακτικό τρόπο ώστε να χωριστούν 3 καρβέλια ψωμί σε 4 ίσες μερίδες χρησιμοποιώντας μόνο ένα μαχαίρι.”

Το πρόβλημα αναγράφεται στον πάπυρο του Rhind.

Ο πάπυρος του Rhind, που είναι γνωστός και ως πάπυρος του Αχμές, αποτελεί το καλύτερο παράδειγμα των αιγυπτιακών μαθηματικών. Ανακαλύφθηκε τον 19ο αιώνα στον τάφο του Ραμσή Β’ στις Θήβες και πήρε το όνομά του από τον Αλέξανδρο Henry Rhind, έναν Σκωτσέζο αρχαιολόγο ο οποίος αγόρασε τον πάπυρο το 1858 στο Λούξορ (Αίγυπτος) και τον μετέφερε στην Αγγλία στο Βρετανικό Μουσείο. Ο κύλινδρος αυτός έχει γραφτεί στην ιερατική γραφή, είναι μακρύτερος από πέντε μέτρα και αποτελείται από 14 φύλλα παπύρου που περιέχουν δεκάδες προβλήματα κάθε είδους.
Ο συγγραφέας του παπύρου ονομάζεται Αχμές ο οποίος δηλώνει πως το κείμενο αντιγράφει στοιχεία από έναν πάπυρο ακόμα παλαιότερο που γράφτηκε την περίοδο της βασιλείας του Αμένεμη Γ’ (2.000 χρόνια π.Χ.)
Το μαθηματικό υλικό που παρουσιάζεται στον πάπυρο του Rind ανάγεται στην εποχή κατασκευής των πυραμίδων (2.800 χρόνια π.Χ.)

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Το 2ο πρόβλημα είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα, μια παραλλαγή του παιχνιδιού “Ο Πύργος του Hanoi (Tower of Hanoi)”.

Ο πύργος του Ανόι (ονομάζεται επίσης τον Πύργο του Βράχμα ή Lucas’ Πύργος και μερικές φορές πολλαπλό) είναι μαθηματικό παιχνίδι ή γρίφος. Αποτελείται από τρεις ράβδους και διάφορους δίσκους διαφορετικών μεγεθών, οι οποίοι μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε ράβδο. Ο γρίφος ξεκινάει με τους δίσκους σε μια ενιαία στοίβα σε μια αύξουσα σειρά μεγέθους σε μία ράβδο. Η μικρότερη βρίσκεται στην κορυφή, κάνοντας έτσι ένα κωνικό σχήμα. Ο στόχος του γρίφου είναι να μετακινηθεί ολόκληρη η στοίβα σε μια άλλη ράβδο με συγκεκριμένους κανόνες.

Με 3 δίσκους, το παζλ μπορεί να λυθεί σε 7 κινήσεις. Ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για την επίλυση ενός παζλ του Πύργου του Ανόι είναι 2 ^ν – 1, όπου ν είναι ο αριθμός των δίσκων.

Το 2o πρόβλημα – Πύργος Hanoi

Στην παραπάνω εικόνα, υπάρχουν 4 κύβοι τοποθετημένοι πάνω στο τραπέζι Α από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο. Ο ρομποτικός  βραχίονας  μπορεί να μεταφέρει  κύβους  και  να  τους  τοποθετεί  πάνω  στα  3 τραπέζια, π.χ. να πάρει τον κίτρινο κύβο από το Α τραπέζι και να τον τοποθετήσει στο τραπέζι Γ ή στο τραπέζι Β.

Στόχος του ρομποτικού βραχίονα είναι να μεταφέρει ολόκληρη τη στοίβα των κύβων, από το τραπέζι Α στο τραπέζι Γ, ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1. Μόνο ένας κύβος μπορεί να μετακινηθεί κάθε φορά.
2. Σε κάθε κίνηση ο βραχίονας μπορεί να μεταφέρει τον κύβο που βρίσκεται στο πάνω μέρος της στοίβας  και να τον τοποθετήσει είτε πάνω σε μια άλλη στοίβα κύβων (που υπάρχει σε άλλο τραπέζι) είτε πάνω σε ένα άδειο τραπέζι.
3. Δεν μπορεί να τοποθετηθεί μεγαλύτερος κύβος πάνω από μικρότερο κύβο.

Γράψτε την σειρά των κινήσεων που πρέπει να κάνει ο βραχίονας ώστε να μεταφερθούν όλοι οι κύβοι από το Α τραπέζι στο Γ< και να τοποθετηθούν με την ίδια σειρά (κάτω κάτω ο ΜΠΛΕ, από πάνω του ο ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ,  πάνω από αυτόν ο ΜΩΒ και στην κορφή της στοίβας ο ΚΙΤΡΙΝΟΣ).

Δεν υπάρχει περιορισμός κινήσεων, οι βέλτιστες λύσεις θα δημοσιοποιηθούν.
Υπόδειξη : οι ελάχιστες κινήσεις είναι 15.

Παράδειγμα :
1^η κίνηση : ΚΙΤΡΙΝΟΣ κύβος στο τραπέζι Β
2^η κίνηση : ΜΩΒ κύβος στο τραπέζι Γ
3^η κίνηση : ΚΙΤΡΙΝΟΣ κύβος στο τραπέζι Γ
4^η κίνηση : ……

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

Το αρχαιότερο βιβλίο κρυπτογραφίας στον κόσμο θεωρείται μια σφηνοειδής επιγραφή στα Σούσα της Περσίας, η οποία περιλαμβάνει τους αριθμούς 1 έως 8 και από το 32 έως το 35, τοποθετημένους τον ένα κάτω από τον άλλο, ενώ απέναντι τους βρίσκονται τα αντίστοιχα για τον καθένα σφηνοειδή σύμβολα. Επίσης, τον 5ο π.Χ. οι Σπαρτιάτες εφηύραν τη “σκυτάλη“, την πρώτη κρυπτογραφική συσκευή στρατιωτικής χρήσης. Ήταν μια ξύλινη ράβδος, γύρω από την οποία ήταν τυλιγμένη ελικοειδώς μια λωρίδα περγαμηνής. Το κείμενο ήταν γραμμένο σε στήλες. Όταν ξετύλιγαν τη λωρίδα, το κείμενο δεν ήταν κατανοητό εξαιτίας της αναδιάταξης των γραμμάτων. Το “κλειδί” ήταν η περιφέρεια της σκυτάλης (www.citykidsguide.com)

Μια απλοποιημένη τεχνητή κρυπτογράφησης στηρίζεται στην αντικατάσταση κάθε γράμματος του μηνύματος που θέλουμε να κρυπτογραφήσουμε από 2 άλλα γράμματα.
    Πιο συγκεκριμένα, επιλέγονται 2 ζευγάρια λέξεων – κλειδιά κρυπτογράφησης  τέτοια ώστε :

• Να έχουν μοναδικά γράμματα, δηλ να μην έχουν ίδια γράμματα.
• Το πλήθος γραμμάτων τους να έχει γινόμενο ίσο με 24, όσα γράμματα έχει το ελληνικό αλφάβητο, π.χ. η μία λέξη κλειδί να έχει 6 γράμματα και η άλλη 4 γράμματα, 6 x 4 = 24 γράμματα.

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΗ

Κατόπιν σχηματίζεται πίνακας με όλα τα γράμματα της αλφαβήτου. Πάνω από τον πίνακα γράφεται η πρώτη λέξη κλειδί και αριστερά του πίνακα γράφεται κάθετα η δεύτερη λέξη κλειδί.

 Κάθε γράμμα του μηνύματος, που πρόκειται να κρυπτογραφηθεί, αντιστοιχίζεται με 2 γράμματα. Το πρώτο επιλέγεται από την σειρά και το δεύτερο από την στήλη, δηλ. επιλέγεται ένα γράμμα από κάθε λέξη κλειδί.

Παράδειγμα κρυπτογράφησης της λέξης ΔΗΜΟΤΙΚΟ με κλειδιά, τις λέξεις ΒΡΑΣΤΟ ΨΑΡΙ

ΑΠΟΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΗ

Έστω ότι χρησιμοποιούνται οι λέξεις κλειδιά ΑΡΤΕΜΗ – ΝΙΚΗ και το κρυπτογραφημένο μήνυμα είναι : ΝΕΗΗΚΜΚΤ για να το αποκρυπτογραφήσω παίρνω ανά δύο τα γράμματα από το κρυπτογραφημένο μήνυμα ΝΕ – ΗΗ – ΚΜ – ΚΤ και βρίσκω από τον πίνακα σε ποιό γράμμα αντιστοιχούν :

Το Πρόβλημα

Η Μαρία και η Νίκη αποφάσισαν να επικοινωνούν με κρυπτογραφημένα μηνύματα και συμφώνησαν να χρησιμοποιούν τα παρακάτω ζευγάρια λέξεων:

Ζευγάρια λέξεων (κλειδιά κρυπτογράφησης)

• ΣΗΜΕΡΑ  –   ΚΟΤΑ
• ΤΥΡΑΚΙ   –   ΔΩΡΟ
• ΘΥΜΑΡΙ  –   ΠΙΤΑ
• ΑΡΙΣΤΟ   –   ΔΩΡΟ
• ΒΡΑΣΤΟ –   ΨΑΡΙ

Η Νίκη έλαβε από την Μαρία το μήνυμα :

ΟΑΡΙΔΑΡΣΡΙΔΙΔΤΟΡΩΟΔΑΡΟΟΑΡΙΡΣΔΑΡΤΩΣΡΙ

Δυστυχώς δεν θυμάται το ζευγάρι λέξεων που πρέπει να χρησιμοποιήσει.

Ενέργειες :

1. Βοηθήσετε την να διαβάσει (αποκρυπτογραφήσει) το μήνυμα.
   Συμβουλή : δοκιμάστε όλα τα ζευγάρια λέξεων (κλειδιά κρυπτογράφησης) που σας δίνονται και ελέγξτε αν έχει νόημα η πρόταση που προκύπτει
2. Κρυπτογραφήσετε με το ίδιο ζευγάρι λέξεων την απάντηση που εσείς θα δίνατε στο μήνυμα που στάλθηκε από την Μαρία.

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Πολύχρωμο μαγικό τετράγωνο

Ο δάσκαλος  ενός δημοτικού σχολείου έδωσε σε κάθε μαθητή της τάξης του από 4 κόκκινες κάρτες, 4 πράσινες, 4 μπλε και 4 κίτρινες. Επίσης έδωσε και από ένα πλαίσιο, χωρισμένο σε 16 τετραγωνάκια.

 Ζήτησε από κάθε μαθητή  να τοποθετήσει τις χρωματιστές κάρτες σε κάθε τετραγωνάκι έτσι ώστε κάθε γραμμή και κάθε στήλη να έχει και τα 4 χρώματα από μία φορά.

Ο Δημήτρης ξεκίνησε να τοποθετεί τις κάρτες του σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να ολοκληρώσει τον πίνακα;

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Βόλτα στο πάρκο

Το 5ο πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα της θεωρίας γράφων. Οι γράφοι αφορούν στο γνωστικό πεδίο των διακριτών μαθηματικών, με εφαρμογές στην πληροφορική, στις επιστήμες μηχανικών, στη χημεία, στην κοινωνιολογία κ.α. Αν και οι απαρχές της θεωρίας θεμελιώθηκαν κατά τον 18ο αιώνα, αναπτύχθηκε μεταπολεμικά ως ξεχωριστό πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών.  Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα που εντάσσεται στην θεωρία των γράφων είναι Οι Επτά Γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ το 1736.

 Αυτός είναι ο χάρτης ενός πάρκου:

Οι πράσινοι κύκλοι με τα γράμματα είναι δέντρα και οι καφέ γραμμές είναι μονοπάτια. Παρατηρήστε ότι κάποια γράμματα χρησιμοποιούνται πολλές φορές. Ο περίπατος από το δέντρο F στο δέντρο B μπορεί να περιγραφεί ως F D E C A B.

Την Κυριακή δυο οικογένειες έκαναν περίπατο στο πάρκο.

Η οικογένεια Ντακούδη έκανε τον περίπατο B A A A C E D E E D A.

Η οικογένεια Μπακούδη έκανε τον περίπατο F D C D A E A D E D A.

Και οι δυο οικογένειες ξεκίνησαν τον περίπατό τους την ίδια ώρα.
Για να περπατήσουν από ένα δέντρο σε ένα άλλο, μέσω ενός μονοπατιού, χρειάζονται την ίδια ώρα.

Ερώτηση:  Πόσες φορές συναντήθηκαν οι δυο οικογένειες στο ίδιο δέντρο;

Αναφορά προβλήματος : Μαθητικός Διαγωνισμός Πληροφορικής και Υπολογιστικής Σκέψης Bebras®

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Η αλεπού και ο σκύλος

Ευχαριστούμε τον κο Αυγουστή Κλείσαρη για την συνεισφορά του στο  πρόβλημα της εβδομάδας.

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Η απογραφή

Κατά την απογραφή του πληθυσμού, ο απογραφέας ρωτά την κυρία του σπιτιού πόσα παιδιά έχει και ποιες είναι οι ηλικίες τους.
– Έχω τρεις κόρες, οι ηλικίες τους είναι φυσικοί αριθμοί (χωρίς δεκαδικά ψηφία) και το γινόμενο των ηλικιών τους είναι 36, είπε η μητέρα.
– Αυτό δεν μου αρκεί απάντησε ο απογραφέας.
– Θα μπορούσα να σας πω το άθροισμα των ηλικιών τους, όμως και αυτό δεν θα σας διευκόλυνε.
– Θα ήθελα κάτι περισσότερο.
– Εντάξει. Στη μεγαλύτερη κόρη μου, την Άννα αρέσουν τα σκυλιά.

Ποιές είναι οι ηλικίες των τριών κοριτσιών;

Από το βιβλίο  “The Art and Craft of Problem Solving”, Paul Zeitz Πανεπιστήμιο San Francisco.

Ευχαριστούμε τον κο Αυγουστή Κλείσαρη για την συνεισφορά του στο  πρόβλημα της εβδομάδας.

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Γρανάζια σε κίνηση

Παρατήρησε τα παρακάτω γρανάζια.

Όταν το πράσινο γρανάζι Α στρίβει προς την κατεύθυνση που δείχνει το βέλος του, το πορτοκαλί γρανάζι Β πρέπει να στρίψει προς την κατεύθυνση που δείχνει το δικό του βέλος.

Ερώτηση:
Ποιά από τα παρακάτω σύνολα γραναζιών θα κάνουν το Β να στρίψει προς την σωστή κατεύθυνση; 

Τροποποιημένο θέμα από τον διαγωνισμό Bebras GR.

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com

Διόδια

Ο Κώστας αποφάσισε να πάει με το αυτοκίνητό του από την πόλη ΠΟΛΗ Χ στην πόλη ΠΟΛΗ Ω.

Στον παρακάτω χάρτη, οι κύκλοι με τα γράμματα είναι πόλεις και οι γραμμές είναι δρόμοι δυο κατευθύνσεων.
Υπάρχουν επίσης κυκλικοί κόμβοι στους οποίους οι δρόμοι διασταυρώνονται.
Οι αριθμοί πάνω στους δρόμους αντιστοιχούν στα διόδια που θα πρέπει να πληρώσουν τα αυτοκίνητα κάθε φορά που μπαίνουν στον δρόμο.

Τα αυτοκίνητα μπορούν να αλλάξουν κατεύθυνση στις διασταυρώσεις, αλλά θα πρέπει να πληρώσουν όλο το ποσό των διοδίων του δρόμου στον οποίο μπαίνουν.
Για παράδειγμα, για να οδηγήσουν από την πόλη Β στην πόλη Γ μπορούν να χρησιμοποιήσουν τον δρόμο 18 και τον δρόμο 6, οπότε το συνολικό ποσό των διοδίων θα είναι 24.

Ερώτηση:
Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό των διοδίων που θα πληρώσει ο Κώστας για να οδηγήσει από την πόλη ΠΟΛΗ Χ στην πόλη ΠΟΛΗ Ω;

Τροποποιημένο θέμα από τον διαγωνισμό Bebras GR.

Για οποιοδήποτε διευκρίνηση αποστείλετε μήνυμα στο email: argyroi@gmail.com